Septiembre

SEMANA 1
Martes 3 de Septiembre del 2013

Marco Teórico:
  • Superficies Cuadráticas

Introducción:
En la primera clase correspondiente a este mes comenzamos nuestra clase con un tema interesante denominado superficies cuadráticas, donde la ingeniera comenzó la explicación sobre el tema con un análisis general de la superficie esférica.
Después procedimos a interpretar gráficamente algunas superficies cuadráticas como la del elipsoide, hiperboloide parabólico. Para lo cual se seguían cuatro pasos que son:
  1. Intersección con los ejes coordenados
  • Con el eje ox
  • Con el eje oy
  • Con el eje oz
  1. Intersección con los planos coordenados
  • Con el plano xoy
  • Con el plano xoz
  • Con el plano yoz
  1. Intersección con los planos paralelos a los planos coordenados
  • Plano paralelo al plano xoy
  • Plano paralelo al plano xoz
  • Plano paralelo al plano yoz
  1. Gráfica de la superficie cuadrática
Pero había que tomar en cuenta que para cada uno de los casos se tenía que realizar las respectivas gráficas de cada caso, tomando en cuenta los planos en los que estamos trabajando. Por último procedimos a realizar algunos ejercicios con análisis y gráficos para mejor entendimiento del tema

Objetivos:
  • Entender los nuevos conceptos y ecuaciones de las superficies cuadráticas 
  • Aprender las diferentes maneras de analizar e interpretar gráficos
  • Visualizar los gráficos en el espacio y en el plano
  • Aprender a graficar superficies cuadráticas
  • Recordar conceptos anteriormente adquiridos 

Capacidades a desarrollar

  • Desarrollo de habilidades matemáticas para poder resolver problemas relacionados con las superficies cuadráticas
  • Aplicar conocimientos anteriormente aprendidos al momento de resolver problemas
  • Interpretación y entendimiento de los ejercicios planteados
  • Desarrollo del pensamiento matemático
  • Agilidad mental al resolver los ejercicios matemáticos
  • Desarrollar una visión espacial de las gráficas

Resumen:

Superficies cuadráticas

Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.
 Definición  (superficies cuadráticas)

La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables 
\begin{displaymath}A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0\end{displaymath}
se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.

  • Elipsoide

La gráfica de la ecuación: 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}


Figura 1. Elipsoide

  •  Paraboloide elíptico

La gráfica de la ecuación 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}


Figura 2. Paraboloide elíptico

  •  Paraboloide hiperbólico

La gráfica de la ecuación: 

\begin{displaymath}\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}


Figura 3. Paraboloide  hiperbólico

  •  Cono elíptico

La gráfica de la ecuación: 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}\end{displaymath}


Figura 4. Cono elíptico
  •  Hiperboloide de una hoja

La gráfica de la ecuación: 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}


Figura 5. Hiperboloide de una hoja
  • Hiperboloide de dos hojas

La gráfica de la ecuación: 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}


Figura 6. Hiperboloide de dos hojas
Viernes 6 de septiembre del 2013

  • En este día no tuvimos clases de Cálculo vectorial debido a que tenía toda la Universidad permiso por el pregón de las Fiestas de la Politécnica


SEMANA 2

Martes 10 de septiembre del 2013

Marco Teórico
  • Funciones reales de varias variables
  • Dominios de funciones de dos variables

Introducción:

Este día empezamos la clase con un tema estudiado anteriormente que fue funciones vectoriales de una variable real  pero solo que esta vez estudiaremos este tema con  2 variables independientes (x, y) y otra dependiente (z) conocido como funciones reales de varias variables.
 Antes de empezar a estudiar el tema de funciones reales de varias variables  revisamos primero la definición de que es una función de varias variables, el dominio y rango de funciones de 2 variables, dominio cerrado, dominio abierto, frontera y puntos internos.
Por último una vez comprendido este tema realizamos algunos ejercicios, en los cuales la ingeniera nos explicó cómo se realiza el análisis de una función con varias variables y como resolver el dominio de las funciones indicadas.

Objetivos:
  • Comprender las funciones reales de varias variables
  • Identificar la variable independiente y las variables dependientes de la función
  • Recordar temas anteriormente estudiados para resolver ejercicios de funciones de varias variables
  • Graficar los dominios en el plano y en el espacio

Capacidades a Desarrollar
  • Agilidad Mental
  • Desarrollo del pensamiento matemático al momento de realizar los ejercicios de dominio
  • Desarrollar una visión espacial de las ecuaciones de las funciones de varias variables
  • Poner en práctica conocimientos adquiridos
  • Realizar el análisis del dominio de una función de varias variables  de forma sencilla
Resumen:

 Funciones de varias variables


Es una función de n variables con valores reales, en donde x, y serás variables independientes y z será una variable dependiente.

Dominio de funciones de dos variables: 
El dominio puede ser sólo una parte del plano denominado región o todo el plano R^2 

Frontera: es la curva que delimita la región
Puntos de la Frontera: Son todos los pares ordenados (x ,y) que son elementos de la frontera, que pueden o no estar incluidos en ésta.
Puntos Internos: Son todos los pares ordenados (x, y) que están dentro de la frontera

El análisis del dominio:
1.- Analíticamente
2.- Gráficamente: (en R^2 si se desea pero obligatorio en R^3)
3.- Descriptivamente
 

Viernes 13 de septiembre del 2013

 Marco Teórico
  • Dominio de funciones  de dos variables
Introducción:

En este día pusimos en práctica lo aprendido en la clase anterior por lo que  realizamos ciertos ejercicios de dominio de funciones de dos variables para entender mejor el tema propuesto, además se hizo las gráficas respectivas de cada dominio de la función



Objetivos:
  • Comprender las funciones reales de dos variables variables
  • Identificar la variable independiente y las variables dependientes de la función para realizar los ejercicios
  • Recordar temas anteriormente estudiados para resolver ejercicios de funciones de dos variables
  • Graficar los dominios en el plano y en el espacio
Capacidades a Desarrollar
  • Agilidad Mental
  • Desarrollo del pensamiento matemático al momento de realizar los ejercicios de dominio
  • Desarrollar una visión espacial de las ecuaciones de las funciones de varias variables
  • Poner en práctica conocimientos adquiridos
  • Realizar el análisis del dominio de una función de varias variables  de forma sencilla
  Resumen:
Gráfica de funciones de dos variables
Existen varias maneras de visualizar una función de dos variables, en esta sección lo haremos mediante una superficie en el espacio tridimensional.
Definición  (gráfica de funciones de dos variables)

La gráfica de una función $ f :D \subseteq I\hspace{-0.1cm}R^2 \; \; \rightarrow \; \; I\hspace{-0.1cm}R$ es el conjunto de puntos $(x,y,z)$tales que $z = f(x, y)$ y $x \in D$. Es decir,
\begin{displaymath}Graf(f)=\{(x,y,f(x,y))\,\vert\, (x,y)\in D \}\end{displaymath}

Observación : La gráfica de una función de dos variables $z = f(x, y)$ puede interpretarse geométricamente como una superficie $S $ en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano $xy $ es $f$, el dominio de $f$.En consecuencia, a cada punto $(x, y)$ en$D$ le corresponde un punto $(x,y,z)$ en la superficie y, a la inversa, a cada punto $(x,y,z)$ en la superficie le corresponde un punto $(x, y)$ en $D$ (figura 1).


Figura 1.


SEMANA 3
Martes 17 de septiembre del 2013

 Marco Teórico
  •  Curvas de nivel
Introducción:

En este día comenzamos la clase revisando un tema  nuevo que se trata de las curva de nivel, para lo cual procedimos a definir  conceptos que serán muy útiles sobre este tema al momento de resolver ejercicios. Después la ingeniera procedió a explicarnos el tema de curvas de nivel a través de unos ejemplos donde pudimos aprender como analizar y graficar en R^2 y en R^3 las curvas de nivel.



Objetivos:


  • Aprender a graficar superficies de nivel en R^2
  • Aprender a graficar curvas de contorno en R^3
  • Interpretar  y analizar las aplicaciones de las curvas de nivel
  • Crear una visión especial de las funciones  a graficar
  • Identificar el tipo de ecuaciones que se encuentran en las gráficas de la curva de nivel

Capacidades a Desarrollar
  • Agilidad Mental
  • Desarrollo del pensamiento matemático al momento de realizar los ejercicios de analisis y grafica de curvas de nivel
  • Desarrollar una visión espacial de las curvas de nivel
  • Poner en práctica conocimientos adquiridos
  • Realizar el análisis del dominio de una función de varias variables  de forma sencilla
Resumen: 
CURVAS DE NIVEL

Se denominan curvas de nivel a las líneas que marcadas sobre el terreno desarrollan una trayectoria que es horizontal. Por lo tanto podemos definir que una línea de nivel representa la intersección de una superficie de nivel con el terreno. En un plano las curvas de nivel se dibujan para representar intervalos de altura que son equidistantes sobre un plano de referencia.
Esta diferencia de altura entre curvas recibe la denominación de “equidistancia”
De la definición de las curvas podemos citar las siguientes características:
1. Las curvas de nivel no se cruzan entre si.
2. Deben ser líneas cerradas, aunque esto no suceda dentro de las líneas del dibujo.
3. Cuando se acercan entre si indican un declive mas pronunciado y viceversa.
4. La dirección de máxima pendiente del terreno queda en el ángulo recto con la curva de nivel

Curvas de Nivel más conocidas:

 Isobaras: curvas de nivel en función de la presión atmosférica

 Isotermas: curvas de nivel en función de la presión y temperatura

 Líneas equipotenciales: curvas de nivel de la función potencial eléctrico.

 Líneas topográficas: curvas de nivel de la función altitud con respecto al mar.
 

Viernes  20 de septiembre del 2013

Marco Teórico
  •  Límite de una función de varias variables
  • Continuidad de una función de varias variables 
Introducción:



En la clase del día viernes aprendimos  los temas de límites y continuidad de funciones para R^3.  Para lo cual empezamos definiendo el entorno o vecindad, discos de centro para empezar con el estudio de límites de funciones de varias variables.

Luego para la continuidad establecimos los pasos a seguir para determinar si una función es continua o discontinua en un punto

Por último procedimos a realizar ejercicios de límites y la ingeniera nos fue explicando cómo realizar estos ejercicios con demostraciones de la definición de límites  y como determinar los límites en coordenadas polares.

Objetivos:

  • Aprender cuál es la definición de un límite y aprender a realizar su demostración en una función de varias variables
  •  Recordar cómo se resolvían los límites en funciones reales
  • Aplicar las formas de resolución de límites en una función real para poder resolver los ejercicios de límites en una función de variables real
  • Aprender el método para descubrir si una función es continua o discontinua en un punto o intervalo
  • Reconocer cuándo un función discontinua evitable e inevitable
  • Resolver ejercicios de continuidad y poner en práctica las definiciones y propiedades aprendidas
  • Aprender a redefinir una función 
Capacidades a Desarrollar
  • Aplicar las propiedades de los límites correctamente al momento de resolver ejercicios
  • Aprender a aplicar los teoremas y propiedades
  • Realizar los ejercicios siguiendo los pasos que ayudan a determinar cuándo es continua y discontinua una función
  • Interpretación de resultados obtenidos al buscar la continuidad de una función
  • Desarrollo de pensamiento matemático al momento de resolver los ejercicios propuestos
  • Interpretación y entendimiento de los ejercicios planteados 
Resumen:

 


Sábado 21 de septiembre del 2013

Marco teórico
  • Aplicaciones geométricas
  • Análisis Gráfico de Superficies cuadráticas
  • Dominio de funciones de varias variables
Resumen:
En este día rendimos la segunda prueba correspondiente al primer bimestre en el Aula Magna de Química de 10h00 am a 12h00 pm

SEMANA 4
Martes 24 de septiembre del 2013

Marco teórico
  • Funciones vectoriables de Variables real
  • Aplicaciones geométricas
  • Análisis Gráfico de Superficies cuadráticas
  • Dominio de funciones de varias variables
Resumen:
En este día rendimos el primer exámen de Cálculo Vectorial a las 7h00 am.

Viernes 27 de septiembre del 2013

Marco teórico
  • Derivada de funciones de varias variables.
Introducción 



 El día viernes en la clase de cálculo vectorial estudiamos el tema de derivada de funciones de varias variables. Para lo cual iniciamos la clase con la definición de conceptos importantes para poder llevar a cabo la resolución de los ejercicios en el espacio (R3) y en R4, tales como: derivada total, derivadas parciales, variable dependiente, variables independientes Cuando terminamos de definir todos estos conceptos realizamos ejemplos de los temas mencionados para una mejor comprensión.
En la segunda hora de clase realizamos un taller de 2 ejercicios sobre este tema e hicimos la revisión de las segundas pruebas del primer bimestre.

Objetivos 

  • Lograr definir los términos de derivada total, derivadas parciales variable dependiente y variable independiente.
  •  Saber diferenciar entre derivada global y derivada parcial.
  •  Resolver ejercicios sobre derivadas de funciones de varias variables.
  •  Dominio de los temas de derivadas de funciones de varias variables.
Capacidades a desarrollar
  • Definir bien cada parte de un ejercicio.
  •  Realizar de manera ordenada los ejercicios.
  •  Visualización de los ejercicios 
  •  Agilidad mental

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Entradas (Atom)