Agosto

SEMANA 1:


Martes 30 de julio del 2013

Introducción

En la primera clase de Cálculo vectorial la ingeniera Mónica Mantilla hizo su presentación hacia los alumnos para lo cual utilizó unos videos de motivación, después explicó a los estudiantes como sería el proceso del curso. Después envió la primera tarea que consistía en crear una cuenta en gmail para acceder a un curso virtual de cálculo vectorial, además de crear un blog donde se realizaría la sistematización de la materia vista en clases organizada por meses. La última tarea del día era estudiar los temas de introducción a la materia que son vectores, rectas en el espacio y planos en el espacio y realizar un resumen de los datos mas relevantes.

Fundamentos teóricos

• Vectores
• Rectas en el espacio 
• El plano en el espacio

Objetivos

• Recordar aspectos importantes sobre los temas antes mencionados. 
• Realizar ejercicios en los que se pongan en práctica los temas a estudiarse

Capacidades a Desarrollar

• Revisar los conceptos más importantes a cerca de esta teoría estudiada en los temas anteriores 
• Recodar los principales conceptos de vectores, planos y rectas para aplicarlos en la materia de cálculo vectorial

 VECTORES

Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Elementos de un vector

Dirección de un vector: La direcccíon del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido de un vector: El sentido del vector es el que va desde el origen A al extremo B.

 Módulo de un vector

El módulo del vector es la longitud del segmento AB, se representa por  

El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero. 

Módulo de un vector a partir de sus componentes

Módulo a partir de las coordenadas de los puntos

Coordenadas de un vector

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

 

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Regla del paralelogramo : Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Producto de un número por un vector 

El producto de un número k por un vector es otro vector:

De igual dirección que el vector .

Del mismo sentido que el vector si k es positivo.

De sentido contrario del vector si k es negativo.

De módulo

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Producto de un escalar por un vector: El producto de un escalar por un vector es otro vector, que tiene        la misma dirección que el vector original,que tiene la misma dirección del vector inicial si el escalar es     positivo y de sentido contrario si el escalar es negativo.

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

                                                              

                                                

Producto escalar o punto : El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar. 

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Propiedades del producto escalar 

• Conmutativa

              

• Asociativa

              

• Distributiva

              

• El producto escalar de un vector no nulo por si mismo siempre es positivo.

         

Producto vectorial o cruz: El producto vectorial de dos vectores da como resultado otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores que se están multiplicando. El modulo del vector resultante esta dado por: 

                                        

                             

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

                         

Propiedades del producto vectorial

•  Anticonmutativa

x = − x

• Homogénea

λ ( x ) = (λ) x = x (λ)

• Distributiva

x ( + ) = x + x ·

• El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo.

flechas x =

• El producto vectorial x es perpendicular a y a .

RECTAS EN EL ESPACIO 

Ecuación vectorial de la recta

 

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada .Si P(x₁, y₁) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que, luego es igual a  multiplicado por un escalar:

Ecuaciones paramétricas de la recta 

Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Para que se verifique esta igualdad, se deben cumplir:

Ecuaciones continuas de la recta 

Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

Ecuaciones implícitas de la recta 

 

Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.

EL PLANO EN EL ESPACIO

Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección.

Ecuación vectorial del plano

 

Ecuaciones paramétricas del plano

 

Ecuación general o implícita del plano

 

 

Ecuación canónica o segmentaria del plano

Ángulo entre dos planos

Dos planos son perpendiculares si vectores directores son ortogonales.

                                                     

Viernes 2 de agosto del 2013

Introducción :

En éste día en la clase de cálculo vectorial se trató el tema de funciones de una variable real. Para lo cual se revisó los conceptos más importantes del tema, que son los siguientes: ¿Qué es una variable dependiente?, ¿Qué es una variable independiente? Y ¿ Qué es dominio y rango de una función y cómo se los puede calcular? Para así poder resolver los ejercicios planteados en clases.

Luego la ingeniera nos enseñó cuales son las ecuaciones paramétricas, como se define una función en las variables x,y,z para poder realizar la gráfica en el espacio, por último definimos que son las ecuaciones vectoriales y cartesianas.

Una vez adquiridos estos conocimientos se procedió a realizar una serie de ejercicios donde se puso en práctica lo aprendido en los temas antes mencionados, además de que se pudo realizar gráficas de cada una de las funciones.

Fundamentos Teóricos

• Funciones vectoriales de una variable real

Objetivos

• Definir los términos de variable dependiente, variable independiente, dominio y rango de una función.

• Representar una función vectorial a través de las ecuaciones vectoriales, ecuaciones paramétricas y ecuaciones cartesianas.

• Resolver ejercicios donde se apliquen los conceptos aprendidos para representar y resolver una función vectorial de una variable real

• Visualizar y graficar las funciones en el espacio

Capacidades a Desarrollar

• Visualización de gráficas en el espacio  

• Desarrollo de las habilidades matemáticas para poder resolver problemas relacionados con las funciones vectoriales 

 Resumen:

SEMANA 2:

Martes 6 de agosto del 2013

Fundamentos Teóricos:

• Operaciones con funciones vectoriales de una variable real 
• Limites.

Introdución:

 
En este día empezamos la clase con un ejercicio relacionado con la clase de funciones vectoriales en una variable real para así poder recordar todo lo aprendido anteriormente. Después la ingeniera empezó su nueva clase con una presentación muy clara de las distintas operaciones que se puede realizar con las funciones vectoriales las cuales son: suma, producto punto, módulo de una función vectorial, una función contenida en otra función real.

Realizamos ejemplos sobre cada una de esas operaciones para lograr comprender mejor el concepto de cada uno de los términos aprendidos.

Luego procedimos a estudiar el tema de límites en donde se pudo definir qué es un límite y cuál es la definición de límite además observamos y aprendimos un teorema respecto a límites y 4 propiedades del mismo. De la misma manera se realizó ejercicios donde se pudo apreciar mejor los temas antes mencionados y aprenderlos; además de que hicimos una demostración acerca de la definición de límite.

Objetivos:

• Aprender y diferenciar las diferentes operaciones que se pueden realizar con funciones vectoriales en una variable real.
• Lograr resolver de forma fácil y sencilla los ejercicios relacionados a las operaciones con funciones vectoriales
• Aprender cuál es la definición de un límite y aprender a realizar su demostración
• Recordar cómo se resolvían los límites en funciones reales
• Aplicar las formas de resolución de límites en una función real para poder resolver los ejercicios de límites en una función vectorial

Capacidades a Desarrollar:

• Desarrollo de las habilidades matemáticas para poder resolver problemas relacionados con las funciones vectoriales
• Aplicar las propiedades de los límites correctamente al momento de resolver ejercicios
• Interpretación y entendimiento de los ejercicios planteados
• Desarrollo de  pensamiento matemático al momento de resolver las funciones vectoriales

Resumen:

Viernes 9 de Agosto del 2013

Fundamentos Teóricos.

• Continuidad

Introducción

En este día comenzamos las clases con la realización de ejercicios acerca del tema de límites para recordar la clase anterior y para que así quede más claro el tema de límites.

Luego seguimos con una clase nueva acerca del tema de Continuidad en la que pudimos observar y aprender:

• La definición de continuidad
• Los pasos a seguir para determinar si una función es o no continúa.
• Propiedades sobre las funciones vectoriales de una variable real continúa en to.
• Cuando una función vectorial es continua o discontinua
• El tipo de discontinuidades: discontinua inevitable o discontinua evitable. 
• Redefinición de funciones

Por último procedimos a realizar ejercicios donde pusimos en práctica lo aprendido de continuidad de funciones vectoriales.

Objetivos

• Reforzar el tema aprendido de límites de una función vectorial
• Aprender el método para descubrir si una función es continua o discontinua en un punto o intervalo
• Reconocer cuándo un función discontinua evitable e inevitable 
• Resolver ejercicios de continuidad y poner en práctica las definiciones y propiedades aprendidas
• Aprender a redefinir una función

Capacidades a desarrollar

• Interpretación de resultados obtenidos al buscar la continuidad de una función
• Poner en práctica los temas aprendidos en la clase de dominio
• Realizar los ejercicios siguiendo los pasos que ayudan a determinar cuando es continua y discontinua una función
• Aprender a aplicar los teoremas y propiedades 

 Resumen:

SEMANA 3:

Martes 13 de agosto del 2013

Fundamentos teóricos

• Derivación de funciones vectoriales de una variable real

 Introducción

En este día la Ingeniera empezó la clase abordando un tema nuevo que era la derivación de funciones vectoriales donde aprendimos la definición de derivada y las propiedades de la derivada de una función vectorial en una variable real

Después observamos aspectos importantes del tema de derivadas que serán muy útiles al momento de resolver ejercicios del tema visto.

Por último procedimos como en todas las clases a realizar una serie de ejercicios donde se pone en práctica lo aprendido además de lograr un mejor entendimiento al momento de resolver un ejercicio.

Objetivos

• Aprender la definición de una derivada en una función vectorial de variable real
• Ampliar los conceptos de límites
• Aplicar correctamente las propiedades de límites y derivadas cuando se resuelven ejercicios.
• Recordar el tema de dominio de una función vectorial en una variable real.
• Realizar ejercicios sobre la derivación de funciones vectoriales de una variable real.

Capacidades a Desarrollar

• Entender el proceso para poder resolver ejercicios de derivadas
• Poner en práctica los conocimientos de derivadas en una función real para resolver los problemas de derivadas en una función vectorial.
• Aplicación de los temas de límites, dominio y resolución de ecuaciones
• Resolver de una forma sencilla los ejercicios de derivadas aplicando los conocimientos adquiridos 

 Resumen:

Viernes 16 de Agosto del 2013

Fundamentos Teóricos: 

•  Interpretación geométrica y física de las derivadas
•  Integración de Funciones Vectoriales 

Introducción:

Al empezar nuestra clase continuamos con el contenido del tema anterior y la ingeniera nos explicó la interpretación geométrica e interpretación física de las derivadas, explicación que vino reforzada con gráficos para entender mejor el tema.

Luego a partir de un ejemplo la ingeniera nos indicó la ecuación vectorial, paramétrica, cartesiana de la recta y procedimos a realizar un ejercicio.

Después empezamos un nuevo tema el que trata sobre la integración en funciones vectoriales, en donde aprendimos la definición de la misma, sus propiedades, algunos datos importantes e interesantes que serán muy útiles en el momento de realizar los ejercicios.

Finalmente procedimos a realizar ejercicios acerca del tema aprendido para entender mejor todos los conceptos antes mencionados, ejercicios en los cuales la ingeniera nos ayudó para un mejor entendimiento.

Objetivos:

• Recordar y reforzar la derivación de funciones vectoriales mediante una  interpretación física y geométrica. 
• Aprender que tipo de ecuaciones se utilizaran al resolver ejercicios
• Interpretar los diferentes tipos de ecuaciones al momento de expresar un vector
• Aprender el tema de integración de funciones vectoriales en una variable con todos sus conceptos y aplicaciones
• Recordar el tema de integración en una variable para ponerlo en práctica en el momento de resolver problemas de integración de funciones vectoriables de una variable

Capacidades a desarrollar:

• Entender el proceso para poder resolver ejercicios deintegración de funciones vectoriales en una variable real
• Poner en práctica los conocimientos de integrales en una función real para resolver los problemas de integrales en una función vectorial.
• Aplicación de los temas de derivadas y de métodos de resolver integrales en una función vectorial en una variable real
• Resolver de una forma sencilla los ejercicios de integrales aplicando los conocimientos adquiridos 

Resumen:

SEMANA 4

Martes 20 de Agosto del 2013


Fundamentos Teóricos:

• Primera Prueba Bimestral

Introducción:

En esta clase tuvimos nuestra primera prueba bimestral, en la cual se nos evaluó los siguientes temas: vectores, rectas y planos en el espacio, funciones vectoriales de variable real (dominio, rango, límites, continuidad, derivación e integración)

La prueba estuvo compuesta por 5 ejercicios de los temas antes mencionados

Objetivos:

• Evaluar los conocimientos adquiridos en las tres semanas de clases 
• Revisar todos los temas vistos en clases para una mejor compresión 
• Realizar ejercicios para reforzar lo aprendido 

Capacidades a desarrollar:

• Agilidad mental 
• Resolver de una forma sencilla los ejercicios propuestos en la prueba 
• Pensamiento matemático

Viernes 23 de Agosto del 2013

Fundamentos Teóricos:

• Aplicaciones Geométricas

Introducción:

Está clase inició con un dibujo en tercera dimensión de un triedro con las rectas tangente, normal y binormal, además de una curva denominada alabeada o trayectoria.

Luego aprendimos las definiciones analíticas y gráficas de vector tangente, vector binormal y vector normal principal. Además revisamos el tema de ecuaciones de las rectas y los planos para así comprender mejor el tema que estabamos revisando en vista que abarca estos temas. Después aprendimos y entendimos que es un plano osculador, plano normal, plano rectificante. Por último terminamos la clase con las definiciones analíticas y gráficas de recta tangente, normal principal, recta binormal. 

Objetivos:

• Recordar y revisar las ecuaciones de una recta y un plano en el espacio 
• Identificar el plano osculador, plano normal, plano rectificante 
• Aprender a graficar y como se forman los planos normal, osculador y rectificante 
• Aprender las demostraciones de las ecuaciones de la rectas y planos 
• Realizar ejercicios para reforzar lo aprendido 
• Identificar el vector tangente en las gráficas en tres dimensiones

Capacidades a desarrollar:

• Agilidad mental Pensamiento matemático 
• Aplicación de las ecuaciones de rectas y planos en el espacio 
• Resolver de manera sencilla los ejercicios propuestos en este tema

Resumen: 

SEMANA 5  
Martes 27 de Agosto del 2013

Marco teórico

• Vector unitario, radio de curvatura, circulo de curvatura y curvatura te torsión.

Introducción

En este día aprendimos los siguientes temas: Vector unitario, radio de curvatura, circulo de curvatura y curvatura te torsión de una función de una variable real, en donde pudimos tratar más profundamente las siguientes características de los temas antes mencionados:

• Definir lo que es un vector unitario.
• El radio de curvatura, su módulo, dirección y fórmula para calcularlo.
• El círculo de curvatura.
• La curvatura de torsión y su significado.

Cuando términos de aprender y entender estos temas con sus respectivas definiciones procedimos a realizar una serie de ejercicios en donde se encuentren la aplicación de los mismos para así tener un mejor conocimiento de los temas antes estudiados y así obtener una mejor comprensión.

Objetivos:

• Definir y calcular el vector unitario de una función vectorial.

• Calcular y definir el radio de curvatura.

• Calcular y definir el círculo de curvatura.

• Calcular y definir la curvatura de torsión

• Comprender y diferenciar entre curvatura de torsión y curvatura.

Capacidades a desarrollar

• Aplicación del tema de derivadas para resolución de problemas

• Entendimiento de las características de cada tema

• Interpretaciones matemáticas

• Cálculos matemáticos

• Resolución de problemas

Resumen:

Viernes 30 de Agosto del 2013

Marco Teórico

• Longitud de curva

Introducción

En este día la Ingeniera nos enseñó un tema muy interesante referente al cálculo vectorial en donde pudimos aprender los siguientes temas:

Definir y calcular la longitud de curva
Como calcular la longitud de una curva en el espacio
Determinar los límites de una longitud de cierta curva en el espacio

Objetivos

• Definir y calcular una longitud de curva.

• Determinar los límites entre los cuales se debe calcular la longitud de curva.

• Recordar el tema de límites e integrales para resolver problemas

Capacidades a Desarrollar

• Detallar de manera clara y correcta cada paso a seguir.
• Resolución de los ejercicios con agilidad.
• Aplicación del tema de derivadas e integrales
• Resolución de integrales y derivadas
• Aplicación de identidades trigonométricas.